PosWeibull對(duì)數(shù)正態(tài)分布計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性驗(yàn)證及使用注意事項(xiàng)
一、對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型及應(yīng)用范圍
對(duì)數(shù)正態(tài)分布是可靠性工程中較為常用的一個(gè)壽命分布模型。對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型的兩個(gè)參數(shù)分別為均值mu和標(biāo)準(zhǔn)差σ。對(duì)數(shù)正態(tài)分布與正態(tài)分布類似，但是，對(duì)數(shù)正態(tài)分布是假設(shè)隨機(jī)變量值的對(duì)數(shù)值呈正態(tài)分布而不是隨機(jī)變量本身呈正態(tài)分布。因此，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的所有隨機(jī)變量值都是正的，并且分布形狀向左傾斜。
在開展壽命數(shù)據(jù)分析時(shí)，通常會(huì)遇到到底選擇威布爾分布還是對(duì)數(shù)正態(tài)分布更合適的問題。對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型和威布爾分布模型均適用于較多類型的壽命數(shù)據(jù)。但是，對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型，它在工程中適用于描述失效模式具有疲勞應(yīng)力特性的產(chǎn)品壽命分布規(guī)律（大部分的機(jī)械產(chǎn)品都具有該特性），經(jīng)常用于金屬疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)、維修數(shù)據(jù)（維修時(shí)間）、化學(xué)工藝設(shè)備的故障和維修數(shù)據(jù)、材料特性以及非線性加速退化數(shù)據(jù)分析。當(dāng)失效時(shí)間是由效應(yīng)相乘（疊加）得到時(shí)，建議使用對(duì)數(shù)正態(tài)分布。例如，設(shè)備隨著環(huán)境應(yīng)力不斷惡化而出現(xiàn)了裂紋，且裂紋隨著應(yīng)力增加不斷增大，類似這樣的數(shù)據(jù)可以使用對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型進(jìn)行分析。
`f(t')=\frac{1}{\sigma'\sqrt{2\pi}}e^{\-1/2(\frac{t'-u'}{\sigma'})^2}`
`t'`是故障時(shí)間t的自然對(duì)數(shù)值，即`t'=ln?(t)`。需要記住這個(gè)特征，后續(xù)的換算需要用到。
同樣，`u'`、`σ'`分別為故障時(shí)間t的自然對(duì)數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差。
二、PosWeibull的對(duì)數(shù)正態(tài)分布計(jì)算準(zhǔn)確性測(cè)試
為驗(yàn)證PosWeibull軟件的計(jì)算精度，選擇國(guó)外同類的Re軟件、國(guó)外的M軟件與PosWeibull的22版本進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。
（1）測(cè)試案例1
某產(chǎn)品可靠性試驗(yàn)的故障數(shù)據(jù)如下：2，5，11，23，29，37，43，59，單位是小時(shí)。
現(xiàn)選擇對(duì)數(shù)正態(tài)分布作為擬合的分布類型，計(jì)算方法分別選擇極大似然法，置信度取0.95（雙側(cè)），分別使用PosWeibull的壽命分析模塊、Re軟件的Weibull模塊、M軟件對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算結(jié)果如下表所示。
結(jié)果分析：選擇極大似然法時(shí)，三個(gè)工具計(jì)算得到的均值參數(shù)`u`、標(biāo)準(zhǔn)差`σ`參數(shù)`η`基本一致，誤差小于0.01%。其中，PosWeibull的計(jì)算結(jié)果與M軟件的完全一致。
表1 案例1計(jì)算結(jié)果對(duì)比（極大似然法）
| 輸入數(shù)據(jù) | ||||
|---|---|---|---|---|
| 2，5，11，23，29，37，43，59 | 是否刪失 | 無刪失 | ||
| 計(jì)算設(shè)置 | 計(jì)算軟件 | PosWeibull | Re軟件 | M軟件 |
| 計(jì)算方法 | 極大似然 | 極大似然 | 極大似然 | |
| 置信度 | 0.95（雙側(cè)） | 0.95（雙側(cè)） | 0.95（雙側(cè)） | |
| 分布類型 | 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 | 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 | 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 | |
| 計(jì)算結(jié)果 | 均值`u` | 2.83162 | 2.83（四舍五入） | 2.83162 |
| 標(biāo)準(zhǔn)差`σ` | 1.09875 | 1.10（四舍五入） | 1.09875 | |
算結(jié)果.png)
圖1-PosWeibull軟件計(jì)算結(jié)果
算結(jié)果.png)
圖2-M軟件計(jì)算結(jié)果
（2）測(cè)試案例2
使用Kececioglu 所編的《Reliability & Life Testing Handbook》資料里面的的案例進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。
故障數(shù)據(jù)點(diǎn)分別為：62.5、91.9、100.3、117.4、141.1、146.8、172.7、192.5、201.6、235.8、249.2、297.5、318.3、410.6、550.5。將該數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)分別錄入到PosWeibull的壽命分析模塊、Re軟件的Weibull模塊、M軟件進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算方法選擇RRX方法。
《Reliability & Life Testing Handbook》資料通過概率圖方法給出的結(jié)果為`u`=5.22575，`σ`=0.62048。
Re軟件計(jì)算結(jié)果為`u`=5.2303，σ=0.6283。
M軟件計(jì)算結(jié)果為`u`=5.23028，σ=0.630225。
PosWeibull軟件的計(jì)算結(jié)果為`u`=5.23028，`σ`=0.630225。
可以看出，PosWeibull軟件的計(jì)算結(jié)果與M軟、Re軟件的基本一致，與《Reliability & Life Testing Handbook》資料通過概率圖方法給出的結(jié)果也基本一致，存在細(xì)微差別的原因是《Reliability & Life Testing Handbook》資料的計(jì)算方法是通過手動(dòng)繪制擬合線的，得到的結(jié)果精度相對(duì)較差一些。
表2 案例2計(jì)算結(jié)果對(duì)比（最小二乘法）
| 輸入數(shù)據(jù) | ||||
|---|---|---|---|---|
| 62.5、91.9、100.3、117.4、141.1、146.8、172.7、192.5、201.6、235.8、249.2、297.5、318.3、410.6、550.5 | 是否刪失 | 無刪失 | ||
| 計(jì)算設(shè)置 | 計(jì)算軟件 | PosWeibull | Re軟件 | M軟件 |
| 計(jì)算方法 | RRX | RRX | RRX | |
| 置信度 | 0.95（雙側(cè)） | 0.95（雙側(cè)） | 0.95（雙側(cè)） | |
| 分布類型 | 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 | 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 | 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 | |
| 計(jì)算結(jié)果 | 均值`u` | 5.23028 | 5.2303 | 5.23028 |
| 標(biāo)準(zhǔn)差`σ` | 0.630225 | 0.6283 | 0.630225 | |
算結(jié)果.png)
圖3-PosWeibull軟件計(jì)算結(jié)果
算結(jié)果.png)
圖4-M軟件計(jì)算結(jié)果
（3）測(cè)試案例3：較多刪失數(shù)據(jù)
以Nelson的《Applied Life Data Analysis》的機(jī)車控制設(shè)備的故障數(shù)據(jù)為例，分別使用Re軟件、PosWeibull軟件、M軟件進(jìn)行計(jì)算。一共96個(gè)樣本，其中37個(gè)樣本出現(xiàn)故障，59個(gè)樣本未故障（刪失）。
數(shù)正態(tài)故障刪失.png)
Re軟件的計(jì)算結(jié)果為`u`=2.2223，`σ`=0.3064，均為10為底的對(duì)數(shù)的結(jié)果。
M軟件的計(jì)算結(jié)果為`u`=5.11692，`σ`=0.70549，均為自然對(duì)數(shù)的結(jié)果。
PosWeibull的計(jì)算結(jié)果為`u`=5.11692，`σ`=0.705494，均為自然對(duì)數(shù)的結(jié)果。
由于Re軟件給出的是10為底的對(duì)數(shù)的計(jì)算結(jié)果，將PosWeibull軟件的計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)為10為底的對(duì)數(shù)的計(jì)算結(jié)果，轉(zhuǎn)換后的PosWeibull的計(jì)算結(jié)果（10為底）為`u'`=2.22225，`σ'`=0.306351?；九cRe軟件的計(jì)算結(jié)果一致。表明在使用對(duì)數(shù)正態(tài)分布處理包含較多的刪失數(shù)據(jù)的時(shí)候，PosWeibull所計(jì)算得到的結(jié)果與國(guó)外Re等軟件的計(jì)算結(jié)果基本一致，滿足工程需求。但是，使用的時(shí)候需要特別注意，PosWeibull軟件對(duì)數(shù)正態(tài)分布計(jì)算得到的是取對(duì)數(shù)后的變量的計(jì)算結(jié)果??！
表3 案例3計(jì)算結(jié)果對(duì)比（極大似然法）
| 輸入數(shù)據(jù) | ||||
|---|---|---|---|---|
| 22.5,37.5,46,48.5,51.5,53,54.5,57.5,66.5, 68,69.5,76.5,77,78.5,80,81.5, 82,83,84,91.5,93.5,102.5,107,108.5,112.5,113.5,116, 117,118.5,119,120,122.5,123,127.5,131,132.5,134,135(+,59) | 是否刪失 | 存在刪失，刪失標(biāo)記(+) | ||
| 計(jì)算設(shè)置 | 計(jì)算軟件 | PosWeibull | Re軟件 | M軟件 |
| 計(jì)算方法 | 極大似然 | 極大似然 | 極大似然 | |
| 置信度 | 0.95（雙側(cè)） | 0.95（雙側(cè)） | 0.95（雙側(cè)） | |
| 分布類型 | 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 | 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 | 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 | |
| 計(jì)算結(jié)果 | 均值`u` | 5.11692 | 2.2223 | 5.11692 |
| 標(biāo)準(zhǔn)差`σ` | 0.705494 | 0.3064 | 0.70549 | |
車設(shè)備故障概率圖.png)
圖5-機(jī)車設(shè)備故障概率圖
三、使用注意事項(xiàng)
（1）在使用PosWeibull的對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型進(jìn)行壽命數(shù)據(jù)分析的時(shí)候，需要注意的是，所計(jì)算得到的均值`u'`、標(biāo)準(zhǔn)差`σ'`均為自然對(duì)數(shù)（e為底）時(shí)的結(jié)果。如果要利用PosWeibull軟件計(jì)算得到的均值、標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行故障時(shí)間預(yù)測(cè)時(shí)，可采用如下方法：a、利用PosWeibull軟件計(jì)算所得到的均值`u'`、標(biāo)準(zhǔn)差`σ'`，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的故障時(shí)間`t'`。b、根據(jù)`t'=ln(t)`關(guān)系，使用`t=exp(t')`換算出`t`的值。
（2）使用對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，需要注意與威布爾分布的相似性和差異性。